2020年11月25日上午，厦大经济学科计量经济学与统计学“邹至庄讲座”系列第六讲如约开讲，清华大学统计学研究中心杨立坚教授带来题为“Statistical Inference for the Mean Function of Stationary Functional Time Series”的报告。四百余名校内外师生通过线上线下方式聆听报告。讲座由王亚南经济研究院（WISE)助理教授宋伟主持。
杨立坚教授首先回顾了函数型数据分析（Functional Data Analysis, FDA）领域已有的书籍与研究成果：Ramsay and Silverman (2002, 2005), Ferraty and Vieu (2006)等，并介绍自己在FDA的研究领域主要集中在利用同时置信带（Simultaneous Confidence Band, SCB）进行统计推断。杨教授提到统计推断的两个重要要素是假设检验和置信区间，由于FDA的研究对象不再是传统的参数或者参数向量，而是函数曲线或者曲面，应用于此类研究一个方便的工具就是SCB。
为了进一步学习函数型数据分析方法，杨教授详细介绍了FDA的原始数据。不同于传统统计分析，FDA的原始数据是由n组数据组成，其中每组数据有N次观测值，且每组观测值生成一个轨迹函数。学术界根据每组观测值数量的大小将原始观测数据分为两类：稀疏型（Sparse）和稠密型（Dense）。稀疏型数据指每组数据观测次数N有一个确定的上界，并且观测值之间独立同分布；稠密型数据是指每组数据观测次数N趋近于无穷。接着，杨教授具体介绍了几个典型的稀疏型数据研究案例：1. 对于46个HIV患者血液中的CD4细胞个数随访，每个患者随访次数为4到10次，研究生长曲线；2. 收集132位非黑人女性骨密度数据，每个人测试2到4次。稠密型数据的研究案例：240个样本的光谱吸收度监测，每个样本检测次数为100。
随后，为了对函数时间序列中不可观测随机过程的期望m函数进行估计，杨教授介绍了两步估计法：第一步对每一组数据的轨迹函数进行估计，第二步将估计到的所有轨迹函数取平均得到估计的m函数，利用估计的m函数即可计算出同时置信带。经过估计得出了两个重要结论：一是函数型中心极限定理，二是两步估计结果与样本均值估计具有等价性。另外，在模型的假设中，杨教授的研究拓宽了假设条件，误差项不必严格服从正态分布，只要满足相应的矩条件即可。
杨教授还结合研究案例讲解，对稠密型脑电数据进行研究，经过估计得到的m函数位于95%置信度的SCB之间。值得注意的是，估计结果中m函数的形状与三角函数非常相似，并在研究中利用SCB进行了检验，经过检验，三角函数的原假设在很高的置信度水平上位于同时置信区间，证明了估计得到的m函数的确是一种三角函数型。
最后，杨教授介绍了下一步研究方向：交叉自协方差函数估计，并向大家推荐了一些重要的研究参考文献。在问答环节，线上线下听讲的师生们积极提问，杨教授进一步讨论了FDA的应用领域，例如音频、光谱以及医学等，并对FDA未来在上市公司股票价格走向等方面的研究进行了展望。
（经济学院2019级博士生 梁佩凤）
